Родился 27 января 1897 года в Самаре в семье служащего почтово-телеграфной конторы. В 1914-м окончил Оренбургское реальное училище и продолжил своё образование в Московском университете, который ему пришлось оставить в 1917 году в связи с военным призывом. Служил в белой армии. После разгрома частей Колчака эмигрировал в Японию, а оттуда переехал в США.
В США Щелкунов продолжил своё образование, получив в 1923 году степень бакалавра и магистра математики в Колледже штата Вашингтон (ныне Университет штата Вашингтон). Пятью годами позднее он получил степень доктора философии в Колумбийском университете.
После получения степени Щелкунов начал работать в исследовательском подразделении компании Western Electric, которое впоследствии стало знаменитой Bell Labs (с 1925 года, первоначальное название Bell Telephone Laboratories, BTL). Здесь он проработал 35 лет.
В BTL Щелкунов занимался исследованием радаров, распространением электромагнитных волн в атмосфере и в микроволновых направляющих линиях, изучением коротковолнового радио, широкополосных антенн и систем заземления. Он занимал должности заместителя директора математических исследований и заместителя вице-президента по связям с университетами, а также преподавал в течение пяти лет в Колумбийском университете.
В 1933 году он совместно с Салли П. Мидом начал исследование распространения электромагнитных волн в волноводах и в кабельной среде. В ходе исследования им удалось описать теорию поперечных волн. В 1935 году Щелкунов вместе с коллегами обосновали возможность передачи с помощью нового для того времени коаксиального кабеля телевизионных программ и реализации многоканальной телефонии.
Другой областью, которая привлекала внимание Щелкунова, была теория антенн. Он разработал методы расчёта полного сопротивления антенн; исследовал теоретические проблемы, связанные с развитием широкополосных антенн; малых по размерам направленных антенн; металлических линзовых антенн, используемых на ретрансляционных станциях радиорелейной связи.
Во время Второй мировой войны Сергей Щелкунов работал в качестве консультанта по распространению радиоволн на американской военно-морской базе в Сан-Диего. В BTL он приступил к изучению магнетронов для проектирования мощных генераторов сигналов сверхвысоких частот (СВЧ), а также особенностей распространения радиоволн в верхних слоях атмосферы. Среди разнообразных устройств СВЧ, которыми он занимался, – резонаторы, аттенюаторы, излучающие рупорные антенны и т. п.
Фундаментальным вкладом С.А. Щелкунова в теорию антенн явился принцип эквивалентности, введенный им в 1936 году и носящий его имя. В соответствии с данным принципом, касательные (тангенциальные) составляющие магнитного и электрического поля на заданной поверхности могут быть заменены соответственно эквивалентными электрическим и магнитным поверхностными токами. Практическую значимость этой идеи, положившей начало созданию обширного класса новых антенн, трудно переоценить.
Сергей Александрович Щелкунов является автором более чем 50 научных работ в области прикладной электродинамики и теории антенн и пяти книг. Он получил 15 патентов на изобретения. Одна из книг Щелкунова («Антенны. Теория и практика», 604 страницы) была переведена на русский язык. Она вышла в СССР в издательстве «Советское радио» в 1955 году под редакцией Л.Д. Бахраха.
Подробнее с материалами о жизни и деятельности С.А. Щелкунова можно познакомиться на сайте Виртуального компьютерного музея.