Родился 19 апреля 1893 года в Москве в семье священника, преподавателя Московской духовной академии. В 1911 году окончил Петропавловскую гимназию, поступил в Московский университет на физико-математический факультет и в 1915-м окончил его. С 1915 года работал в измерительной лаборатории фабрики военно-полевых телефонов в Москве.
С июня 1916 по август 1917 года служил в Русской императорской армии. В 1917 году был демобилизован и вернулся на фабрику военно-полевых телефонов в Москве. С 1919 года работал в лаборатории Главного военно-инженерного управления РККА (до 1923 года) и преподавателем физико-математического факультета в МГУ (1919 – 1932).
С 1923 по 1927 годы он – старший научный сотрудник магнитного отдела Государственного экспериментального электротехнического института. С 1927 года работал в Всесоюзном электротехническом институте (ВЭИ) – старший научный сотрудник, заведующий радиоотделом, научный руководитель лаборатории ультракоротких радиоволн (УКВ). В частности, под руководством Введенского в 1929 году была построена УКВ радиовещательная станция РВ-61.
С начала 1920-х годов Б.А.Введенский проводил глубокое исследование ультракоротких волн, почти не изученных в то время. Выполнил ряд фундаментальных исследований методов генерации и приема радиоволн, в особенности диапазона УКВ.
Показал, что характер распространения УКВ в области прямой видимости обусловлен интерференцией прямых и отраженных от земной поверхности лучей. Привел (1928) «квадратичную формулу» для расчета распространения УКВ над земной поверхностью в пределах прямой видимости.
Впервые решил задачу дифракционного распространения УКВ для случая сферической Земли и предложил «дифракционную формулу» для расчета поля УКВ за горизонтом (1935 – 1936) с учетом не только дифракции, но и рефракции в тропосфере.
Введенский работал в тесном контакте с Управлением связи РККА, участвовал в разработке целой серии радиостанций и иной радиоаппаратуры для вооружения Красной Армии. С 1935 по 1940 годы – начальник лаборатории в НИИ-9 НКОП СССР в Ленинграде, который возглавлял М.А. Бонч-Бруевич.
После начала Великой Отечественной войны он был эвакуирован и зачислен руководителем группы в Физический институт Академии наук СССР (ФИАН). Выполнил работу по исследованию влияния тропосферной дифракции на распространение радиоволн, осуществил ряд работ по радиосвязи по заданиям Генерального штаба РККА, разработал один из образцов вооружения для войск связи.
С 1944 года Введенский – начальник лаборатории и научный руководитель ЦНИИ-108 (ВНИИ радиолокации, ныне – ЦНИРТИ). С 1954 года до конца жизни оставался заведующий отделом Института радиотехники и электроники (ИРЭ) Академии наук СССР, который он основал совместно с А.И. Бергом в начале 50-х годов. В этот период в соавторстве с М.А. Колосовым опубликовал расчёт поля при дальнем тропосферном распространении УКВ (1965).
Б.А. Введенский – автор многочисленных научных трудов по физике и технике УКВ, магнетизму и теории вихревых потоков, генерации и приёму радиоволн, распространению радиоволн УКВ диапазона, по радиорелейным линиям связи.
В 1951 году он был назначен главным редактором 2-го издания Большой советской энциклопедии, возглавил выпуск 3-го издания Малой советской энциклопедии, Физического энциклопедического словаря и других энциклопедических изданий. С 1959 года стал председателем Научного совета издательства «Советская энциклопедия»
В 1947 – 1951 годах Введенский был председателем Всесоюзного Научного совета по радиофизике и радиотехнике АН СССР. председателем Научного совета по распространению радиоволн АН СССР (1954 – 1969). заместителем председателя Комитета по Сталинским премиям в области науки и изобретательства при Совете Министров СССР (1947 – 1956).
Подробнее с материалами о жизни и деятельности выдающихся ученых сферы ИКТ можно познакомиться на сайте Виртуального компьютерного музея.